DOĞAL SAYILAR

0, 1, 2, 3, ... , 50, ... devam eden sayılara doğal sayılar denir.

Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.


D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.

n bir doğal sayı iken;
Çift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.
Sayma Sayıları

Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.


S = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.
RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.
Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.


BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.


Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, ... varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.


2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.


2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya
= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)
5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)
3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

10 = 10 x 10 = 100
5 = 5 x 5 x 5 = 125
4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15
Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1
Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1
1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır.

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)


DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.


Küçük <> Küçük

< ab =" olmak" a="{1,2}" b="{3," 4 =" 6" 4 =" 7D" 13 =" 22D" 5 =" 8" b="b" 10 =" 7" 13 =" 13" c =" a" 0 =" 5" 6 =" 6" a =" {a,b,c,d,e}" b =" {d,e}" 2 =" 3" b="c" a="b" 2="4D;" 0="3" m="a" 5 =" 20" 4 =" 20" 5 =" 5" b =" b" 10="20" 40="40'tır." 5="5" 1="5" 1="1" 5="5'dir." 1="1" a="a" 0="0" 4="0" 0="0" 4="0" a="a" 0="0" 10 =" 140" 100 =" 1600" 1000 =" 22000" 10000 =" 70000" 36="(36" 4="900" 50="(78" 2="7800/2="3200" 5="(89" 2="890/2="445" 9="(56" 56="504" b="c" b="c" b="c" nen =" (bölen" 3="doğal" 1="a" 1="1," 1="39," 1="3," 1="101" a="0" 4="0," 100="0," 15="0" a="1" 6="1," 109="1," 10="1," 88="1" 0="tanımsız," 0="tanımsız" 10 =" 40" 100 =" 2" 1000 =" 3" a="an" 3="34" a =" n.a" 2 =" 5.2" 2 =" 25" a0 =" 1" 00 =" ifadesi" 1n =" 1" 80 ="1" 115 ="1" 15 =" 1" 3 =" 52.3" 3 ="36" 2 =" 38" 2 =" ?=""> 0 Þ an > 0 dır.
Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0
Tanım : 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a <> 0

Tanım : 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a < 2 =" 16"> 0
Örnek / 2- (-4)3 = -64 <> 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n ¹ -an eşitsizliği doğrudur.

Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve –24 = -2.2.2.2= -16
Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)
Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0
Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

---------------------Üslü İfadelerde Dört İşlem-------------------

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım : Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural :4 a.Xn b.Xn = (a b).Xn

Örnek / 1- 5.103 + 2.103 = (5+2).103
Örnek / 1- 5.103 - 2.103 = (5-2).103

Not8 m ¹ n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz.
Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır.
1.105 = 10.104
Burdan 10.104 + 1.104 = (10+1). 104
Örnek / 55 + 54 = 5.54 + 54 = (5+1). 54


2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir.

Kural 8/ 1- (a.Xm) .(b.Xn) = (a.b).Xm+n
Kural 8 2- (a.Xm) ¸ (b.Xn) = (a¸b).Xm-n veya
Örnek / (2.52 ) . (3.54) = 2.3.52+4 =6.56
Örnek / (8.36) ¸ (4.32) =
Örnek /
Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım.
15a = 3a-2 = (3.5)a = şeklinde yazılırsa
15a = 3a-2 = (3.5)a =
= 3a.5a =
= 32 . 3a.5 a = 3a
= 9.5a =
= 9.5a = 1
= 5a=


------------------Üslü Denklemler--------------------

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.
a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an Þ m=n dir
ÖRNEK/ 1- 2x = 25 Þ x=5 tir.
2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür.

3- 2x+8 = 8 olduğuna göre, x=?
2x+8 = 2x . 28 olup
2x . 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup
2x . 28 = 23
2x = 23¸ 28
2x = 23-8
2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3
5x+1-2+x= 53(x-3)
52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x = 8


2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL 8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
n tek sayı ve an = bn Þ a=b dir.
n çift sıyı ve an = bn Þ a=b veya a = -b dir.
ÖRNEK/ 1- x3=53Þ x=5 tir.
2- (x+7)3=(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm: 3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,
(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım
x+7 = 3x-11
7+11= 3x-x
18 = 2x
x =
x = 9

ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için
(2x+3)4= (X-2)4 Þ
2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)
2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2
x=5 Veya 2x+x= 2-3
3x = -1
x=

KURAL 8 xn = 1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.


X=1.............................1. durum
Veya
N=0 ve x¹0 ................2. durum
Veya
x= -1 ve n çift sayı......3. durum



Xn = 1 Þ




ÖRNEK / 1- 18 = 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.
2- 50 = 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.
3- (-1)6 = 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.
4- 53x-15 = 1 ise x=?

Çözüm: 53x-15 = 1 ise
3x-15 = 0 olmalıdır,burdan
3x = 15
x = 15¸3
x =


ÖRNEK / (5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM: (5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.
(5x+3) = 1
5x+3 = 1
5x = 1-3
5x = -2
x =
ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 1. DURUM..: x+3=1Þx=1-3
x=-2------(ª)
2. DURUM..: x-2=0--.--(ª)
x=2-------(ª) Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır.
3. DURUM...: X+3= -1
x=-4------(ª) Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır. O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir.
ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım.

ÇÖZÜM / = 6.10x
Bu iki sonuçtan
=3.5x



=
=2.2x
=21 . 2x
=21+x
ASAL SAYILAR
Asal sayilar, 1 ve kendisinden baska pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayilardir. En küçük asal sayi, 2' dir. 2 asal sayisi disinda çift asal sayi yoktur. Yani, 2 sayisi disindaki tüm asal sayilar tek sayidir. Asal sayilar kümesi,
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... }
dir.
Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayi olmak üzere, 2n - 1 seklinde yazilabilen sayilar asal sayidir. Örnegin,
22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1, ...
sayilari, asal sayidir.
Aralarinda asal sayilar:
1' den baska pozitif ortak böleni olmayan sayilara, aralarinda asal sayilar adi verilir. Birden fazla sayinin aralarinda asal olmasi için, bu sayilarin asal sayi olmasi gerekmez. Asal sayilar, kesinlikle aralarinda asal sayilardir. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, aralarinda asal sayilardir. Diger taraftan, 10 ile 8 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, 2 ortak bölenleri oldugu için, aralarinda asal sayilar degildir. Bir sayi aralarinda asal iki sayiya bölünebiliyorsa, bu iki sayinin çarpimina da bölünür.
Örnegin,
· 2, 9
· 10, 81
· 5, 29
· 3, 8
· 2, 10, 35
sayi gruplari, ortak tam bölenleri olmadigi için aralarinda asal sayilardir.
Asal olmayan sayilara da bilesik sayi adi verilir. Dolayisiyla, bilesik sayilarin 1 ve kendisinden baska bölenleri vardir. Örnegin, 10 sayisi bir bilesik sayidir. Çünkü, 10 sayisinin 1 ve kendisinden baska, 2 ile 5 böleni vardir. Buradan, asal olmayan 10 sayisi, birer asal sayi olan 2 sayisi ile 5 sayisinin çarpimi olarak yazilabilir. 2 ile 5 sayisina, 10 sayisinin asal çarpani veya böleni denir. Yani, bilesik bir sayi, asal sayilarin çarpimi seklinde yazilabilir.
Örnek 1:
Asagidaki sayi gruplarindan hangisi aralarinda asaldir?
a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25
Çözüm:
a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardir ve bu da 2 ile 4' tür.
b) 6 ile 21' in ortak böleni vardir ve bu da 3' tür.
c) 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardir ve ortak bölen 3' tür.
d) 8, 24 ve 36' nin ortak böleni vardir ve ortak bölen 2 ve 4' tür.
e) 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayiyi birden bölen 1' den baska sayi yoktur. Dolayisiyla, bu sayilar aralarinda asaldir.
Örnek 2:
2m + 3 ile 7n - 5 sayilari aralarinda asal olduguna göre,
ise, m ve n kaçtir?Çözüm:
2m + 3 ile 7n - 5 aralarinda asal olduklarina göre,
2m + 3 = 5 2m = 5 - 3 2m = 2 m = 17n - 5 = 9 7n = 9 + 5 7n = 14 n = 2bulunur.
Örnek 3:
a, b ve c birbirinden farkli rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamakli aralarinda asal sayilardir. Buna göre, ab + bc toplaminin en küçük degeri kaçtir?
Çözüm:
Toplamin en küçük olmasi için, sayilari en küçük almaliyiz. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalidir. Dolayisiyla,
ab + bc = 21 + 13 = 34
olur.
Örnek 4:
2x + y ile 4 x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre,
ise, 3x + 2y toplami kaçtir?Çözüm:
2x + y ile 4x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre, her ikisinin de ortak böleni olmamasi gerektiginden, esitligin sag tarafi ortak bölenden arindirilmalidir. Dolayisiyla,
olur ve buradan,
2x + y = 7 ... (1)
4x + y = 9 ... (2)
yazilir. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, (1) nolu denklemi - 1 ile çarpalim ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalim.
- 1 / 2x + y = 7
4x + y = 9
- 2x - y = - 7
4x + y = 9
Son iki denklemin toplami
2x = 2
x = 1
bulunur ve x = 1 degerini (1) nolu denklemde yerine koyalim
2.1 + y = 7
y = 7 - 2
y = 5
bulunur. Buradan
3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13
olur.
SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI
Her bilesik sayi, asal sayilarin veya asal sayilarin kuvvetlerinin çarpimi seklinde yazilabilir. Bu islemi yapmak için, ilgili sayinin sirasiyla en küçük asal sayidan baslanarak bölünebilmesi arastirilir.
Örnek 1:
124 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.
Çözüm:
120 = 23 . 31. 51
Örnek 2:
500 sayisini asal çarpanlarina ayiralim.
Çözüm:
500 = 22 . 53

BIR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERI
Bir sayma sayisinin pozitif tamsayi bölenlerinin sayisi:
Herhangi bir A sayma sayisinin asal çarpanlari a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
seklinde asal çarpanlarina ayrilmis ise, A sayma sayisinin pozitif tamsayi bölenlerinin sayisi,
( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )
dir. Bu sayiya, 1 ile sayinin kendisi dahil edilmistir.
Bir sayma sayisinin tüm tamsayi bölenlerinin sayisi:
Herhangi bir A sayma sayisinin asal çarpanlari a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
seklinde asal çarpanlarina ayrilmis ise, A sayma sayisinin tüm tamsayi bölenlerinin sayisi,
2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )
dir. Yani, A sayma sayisinin tüm tamsayi bölenlerinin sayisi, pozitif bölenlerinin sayisinin 2 katidir. Bu sayiya, 1 ile sayinin kendisi dahil edilmistir.
Bir sayma sayisinin pozitif tamsayi bölenlerinin toplami:
Herhangi bir A sayma sayisinin asal çarpanlari a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
seklinde asal çarpanlarina ayrilmis ise, A sayma sayisinin pozitif tamsayi bölenlerinin toplami,
dir. Bu toplama, 1 ile sayinin kendisi dahil edilmistir. Bir sayma sayisinin tüm tamsayi bölenlerinin toplami ise, sifirdir.
Bir sayma sayisinin pozitif tamsayi bölenlerinin çarpimi:
Herhangi bir A sayma sayisinin asal çarpanlari a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
seklinde asal çarpanlarina ayrilmis ise, A sayma sayisinin pozitif tamsayi bölenlerinin çarpimi,
dir. Üssün, A nin pozitif tamsayi bölenlerinin sayisinin yarisi olduguna dikkat ediniz.
Örnek 1:
120 sayisinin
a) Kaç tane pozitif böleni vardir?
b) Kaç tane tamsayi böleni vardir?
c) Pozitif bölenlerinin toplami kaçtir?
d) Pozitif bölenlerinin çarpimi kaçtir?
Çözüm:
a) 120 sayisinin asal çarpanlarina ayrilmis sekli
120 = 23 . 31. 51
oldugundan, pozitif bölenlerinin sayisi
( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16
dir.
b) 120 sayisinin tüm bölenlerinin sayisi, pozitif bölenlerinin sayisinin 2 kati olduguna göre,
2 . 16 = 32
dir.
c) 120 sayisinin pozitif bölenlerinin toplamidir.
d) 120 sayisinin pozitif bölenlerinin çarpimi
dir.
Örnek 2:
500 . 5y sayisinin asal olmayan 40 tane tamsayi böleni varsa, y kaçtir?
Çözüm:
500 . 5y = 22 . 53 . 5y
= 22 . 53 + y
2 tane asal böleni oldugundan, tüm bölenlerinin sayisi,
40 + 2 = 42
dir. Buradan, pozitif bölenlerinin sayisi, tüm bölenlerinin sayisinin yarisi oldugundan,
21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 )
21 = 3 . ( 4 + x )
21 = 12 + 3x
3x = 21 - 12
3x = 9 x = 3